Se ha elegido un ejercicio que apareció en un examen de selectividad de los últimos años para practicar el trazado geométrico y conceptos como el eje radical y las tangencias. El enunciado es el siguiente.
Dadas las circunferencias C1 y C2 de O1 y O2 respectivamente se pide:
1. Determina el eje radical de C1 y C2
2. . Trazar las circunferencias tangentes a C1 y a C2 en T, determinando geométricamente sus centros y puntos de tangencia.
Conceptos
Antes de ver su construcción recordemos algunos conceptos:
1. El eje radical es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas, por lo que el eje radical es una recta perpendicular a la recta que contiene los centros de la circunferencia pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.
2. Habrá dos soluciones para el segundo apartado y sabemos que los puntos de tangencias se encontrarán en la recta que une los centros de las circunferencias dadas con los centros de la circunferencia solución, o lo que es lo mismo, los centros de las circunferencias se encontrarán en la recta que contiene a los puntos de tangencia (T) y los centros de circunferencia dadas (O1 y O2).
Construcción en Geogebra
Ahora si veamos la construcción paso a paso.
Resolución
1. Determinar el eje radical de C1 y C2. Vemos que el primer paso responde a la definición antes planteada, lo único que necesitaremos es trazar una circunferencia auxiliar que corte a las circunferencias dadas para calcular un punto P perteneciente al eje radical
2. En el primer paso trazamos la recta que une O2 y T (perteneciente a C2) y sabemos que en esa recta deberán encontrarse los centros de la circunferencia solución. En los siguientes pasos deberemos sumar y restar al radio de C2 el radio de C1 obteniendo los puntos S1 y S2, para acto seguido calcular las mediatrices de los segmentos O1S1 y O1S2 para encontrar los centros de la circunferencia resultado. Ya solo tendremos que encontrar los puntos de tangencia (sabiendo que el punto T es doble ya que ambas soluciones son tangentes por ese punto) y trazar las circunferencias.
Posiciones particulares.
Podemos desplazar las circunferencias para ver si existe solución en todas las posiciones y podemos observar:
- Cuando las circunferencias dadas son tangentes el ejercicio pasa a tener una única solución
- Si las circunferencias son concéntricas todos los centros estarán alineados y las mediatrices serán paralelas
¿Podrías decir alguna otra posición particular?
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